Question

某種家電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器無(wú)故障使用時(shí)間T（單位：年）有關(guān)，若T≤1，則銷售利潤(rùn)為0元，若1＜T≤3，則銷售利潤(rùn)為100元，若T＞3，則銷售利潤(rùn)為200元，設(shè)每臺(tái)該種電臺(tái)無(wú)故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3及T＞3這三種情況發(fā)生的概率為P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個(gè)根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）記ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，求ξ的分布列和期望

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目中所給的三種情況發(fā)生的概率P₁，P₂，P₃之間的關(guān)系，寫出關(guān)于三個(gè)概率的關(guān)系式，即三個(gè)概率之和是1，又兩個(gè)概率是一元二次方程的解，根據(jù)根和系數(shù)之間的關(guān)系，寫出結(jié)果．
（2）ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，則ξ的可能取值為0，100，200，300，400，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出變量的分布列，做出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由已知P₁+P₂+P₃=1，
∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1
∵P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個(gè)根，
∴P1+P2=

3

5

，∴P1=

1

5

，P2=P3=

2

5

（2）ξ的可能取值為0，100，200，300，400
P(ξ=0)=

1

5

×

1

5

=

1

25

P(ξ=100)=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

P(ξ=200)=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=300)=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=400)=

2

5

×

2

5

=

4

25

∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240元

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查概率的性質(zhì)，考查一元二次方程根和系數(shù)之間的關(guān)系，是一個(gè)綜合題目．