Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為，點(diǎn)滿足，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）確定圓的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本�與圓相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)坐標(biāo)：因?yàn)?/span>軸，所以，根據(jù)對(duì)稱性，可取，則直線的方程為，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得（2）根據(jù)垂徑定理，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值，就是求圓心到直線的距離的最小值. 設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離，利用得，化簡(jiǎn)得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，取最大值為.

試題解析：解：（1）

因?yàn)闄E圓的方程為，所以，.

因?yàn)?/span>軸，所以，而直線與圓相切，

根據(jù)對(duì)稱性，可取，

則直線的方程為，

即.

由圓與直線相切，得，

所以圓的方程為.

（2）

易知，圓的方程為.

①當(dāng)軸時(shí)，，

所以，

此時(shí)得直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

首先由，得，

即，

所以（*）.

聯(lián)立，消去，得，

將代入（*）式，

得.

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，有最大值為.

綜上，因?yàn)?/span>，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.