Question

【題目】對于元集合，若元集合滿足，且．則稱是集合的一種“等和劃分”（與算是同一種劃分）．試確定集合共有多少種等和劃分?

Answer 1

【答案】29

【解析】

解法1：不妨設．由于當集合確定后，集合便唯一確定，故只須考慮集合的個數．

設為最大數．由，知．于是，．故中有奇數個奇數．

（1）若中有五個奇數，因中的六個奇數之和為36，而，所以，．此時，得到唯一的．

（2）若中有三個奇數、兩個偶數，用表示中這兩個偶數之和，表示中這三個奇數之和，則．于是，．共得的24種情形．

①當時，，可搭配成的3種情形；

②當時，，可搭配成的3種情形；

③當時，，可搭配成的6種情形；

④當時，，可搭配成的6種情形；

⑤當時，，可搭配成的4種情形；

⑥當時，，可搭配成的1種情形；

⑦當時，，可搭配成的1種情形；

（3）若中有一個奇數、四個偶數，由于中除12外，其余的五個偶數和為，從中去掉一個偶數，補加一個奇數，使中五數之和為27，分別得到的4種情形．綜上，集合有種情形．即有29種等和劃分．

解法2：元素交換法．

顯然，，恒設．

（1）首先注意極端情況的一種分劃：

．

顯然，數組與中，若有一組數全在中，則另一組數必全在中．

以下考慮10、11兩個數至少一個不在中的情況．

為此，考慮中個數相同且和數相等的元素交換．

（2）；

；

；

．

共得到8種對換．

（3）；

；

；

；

．

共得到9種對換．

（4）；

；

；

；

．

共得到11種對換．

每種對換都得到一種新的劃分．因此，總共得種等和劃分．