Question

已知函數(shù)的最大值不大于，又當
（1）求a的值；
（2）設．證明

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)的最大值不大于，求得a²的范圍，再由第二個條件即可得到a的值
（2）由第一問a的值確定f（x）的解析式，然后利用數(shù)學歸納法證明該不等式．
解答：解：（1）由于的最大值不大于，所以，即a²≤1.①
又時，所以即解得a≥1．②
由①②得a=1．
（2）由（1）知f（x）=x-
①當n=1時，，不等式成立；
因，所以，故n=2時不等式也成立．
②假設n=k（k≥2）時，不等式成立，因為的對稱軸為，
知f（x）在為增函數(shù)，所以由得
于是有，
所以當n=k+1時，不等式也成立．
根據(jù)①②可知，對任何n∈N^*，不等式成立．
點評：本題是道難題，考查了二次函數(shù)的性質以及函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，在證明第二問的不等式式注意數(shù)學歸納法的應用．