Question

（2012•九江一模）已知函數(shù)f（x）=x-acosx，x∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若函數(shù)f（x）有極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）=0的值，再分別判定在f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，求出極值．
（2）對字母a進(jìn)行分類討論：當(dāng)|a|≤1時(shí)，f′（x）＞0恒成立，沒有極值；當(dāng)a＞1時(shí)，由于y=asinx單調(diào)增，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）沒有極大值；當(dāng)a＜-1時(shí)，得a＜asinx＜-a，此時(shí)，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有極大值．

解答：解：f′（x）=1+asinx，
（I）當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=1-2sinx，當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=

π

6

．
當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

6

）時(shí)，f′（x）＞0時(shí)，當(dāng)x∈（

π

6

，

π

2

）時(shí)，f′（x）＜0時(shí)，
∴故當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）有極大值，其極大值為f（

π

6

）=

π

6

+

3

．（6分）
（II）當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，|sinx|＜1，
（1）當(dāng)|a|≤1時(shí)，得|asinx|＜1，此時(shí)，f′（x）＞0恒成立，沒有極值；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，得-a＜asinx＜a，此時(shí)，f′（x）=0即1+asinx=0有解，設(shè)為α，
由于y=asinx單調(diào)增，所以當(dāng)x∈（-

π

2

，α）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（α，

π

2

）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）沒有極大值；
（3）當(dāng)a＜-1時(shí)，得a＜asinx＜-a，此時(shí)，f′（x）=0即1+asinx=0有解，設(shè)為β，
由于y=asinx單調(diào)增，所以當(dāng)x∈（-

π

2

，β）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（β，

π

2

）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有極大值；
綜上所述，f（x）有極大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-1）

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．