Question

（2013•聊城一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=

2

，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)
（I）求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意，可設(shè)出PA的中點(diǎn)為H，連接HE，HF，在四邊形HECF中證明CE與HF平行，從而利用線平行的判定定理得出結(jié)論；
（II）由題中條件知，可建立空間坐標(biāo)系求出兩個(gè)半平面的法向量，再利用向量夾角公式求二面角的余弦值，從而得出二面角的大小．

解答：解：（I）由圖知，取PA的中點(diǎn)為H，連接EH，HF，
由已知，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)及底面ABCD是平行四邊形可得出HE

∥

.

1

2

AD，CF

∥

.

1

2

AD
故可得HE

∥

.

CF，
所以四邊形FCEH是平行四邊形，可得FH

∥

.

CE
又CE?面PAF，HF⊆面PAF
所以CE∥平面PAF
（II）底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，可得CA⊥AD，
又由平面PAD⊥平面ABCD，可得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA
又PA=AD=1，PD=

2

，可知，PA⊥AD
建立如圖所示的空間坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ
因?yàn)镻A=BC=1，PD=AB=

2

，所以AC=1
所以B（1，-1，0），C（1，0，0），P（，0，0，1），

AB

=（1，-1，0），

AP

=（0，0，1）
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z）
則可得

x-y=0 z=0

，令x=1，則y=1，z=0，所以

m

=（1，1，0）
又

CB

=（0，-1，0），又

CP

=（-1，0，1）
設(shè)平面PCB的法向量為

n

=（x，y，z），則

y=0 -x+z=0

，令x=1，則y=0，z=1，所以

n

=（1，0，1），
所以|cos＜

m

，

n

＞|=

1

2 × 2

=

1

2

所以二面角A-PB-C的大小為60°

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求法與線面平行的判定，利用空間向量求二面角是一個(gè)重要的方法，恰當(dāng)?shù)慕�立空間坐標(biāo)系是解答此題的關(guān)鍵，本題考查了綜合法證明及空間想像能力，是一道有一定難度的綜合題