Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為lg2；
④在區(qū)間（1，∞）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
其中正確命題序號(hào)為

①③④

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再由函數(shù)t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，的單調(diào)性可判其他命題．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，顯然f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故①正確；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=lg

x2+1

|x|

=lg

x2+1

x

=lg(x+

1

x

)，令t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，則t′（x）=1-

1

x2

可知當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t′（x）＜0，t（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，
即在x=1處取到最小值為2．由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知②錯(cuò)誤，③正確，④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正確運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)及圖象的關(guān)系式解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．