Question

某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．
為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及其定義域；
（2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式，寫出該分段函數(shù)，是解決該題的關(guān)鍵，注意實(shí)際問題中的自變量取值范圍；
（2）利用一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性解決該最值問題是解決本題的關(guān)鍵．注意自變量取值區(qū)間上的函數(shù)類型．應(yīng)取每段上最大值的較大的即為該函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x≤6時(shí)，y=50x-115，令50x-115＞0，
解得x＞2.3．
∵x∈N^*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N^*，
當(dāng)x＞6時(shí)，y=[50-3（x-6）]x-115．
令[50-3（x-6）]x-115＞0，有3x²-68x+115＜0，
上述不等式的整數(shù)解為2≤x≤20（x∈N^*），
∴6＜x≤20（x∈N^*）．
故y=

50x-115          (3≤x≤6 x∈N*) -3x2+68x-115  (6＜x≤20  x∈N*)

，
定義域?yàn)閧x|3≤x≤20，x∈N^*}．
（2）對(duì)于y=50x-115（3≤x≤6，x∈N^*）．
顯然當(dāng)x=6時(shí)，y_max=185（元），
對(duì)于y=-3x²+68x-115=-3(x-

34

3

)2+

811

3

（6＜x≤20，x∈N^*）．
當(dāng)x=11時(shí)，y_max=270（元）．
∵270＞185，
∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的函數(shù)模型意識(shí)，注意分段函數(shù)模型的應(yīng)用．將每一段的函數(shù)解析式找準(zhǔn)相應(yīng)的函數(shù)類型，利用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解決．