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        1. 精英家教網(wǎng)(1)如圖,對于任一給定的四面體A1A2A3A4,找出依次排列的四個相互平行的α1,α2,α3,α4,使得Ai∈αi(i=1,2,3,4),且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等;
          (2)給定依次排列的四個相互平行的平面α1,α2,α3,α4,其中每相鄰兩個平面間的距離都為1,若一個正四面體A1A2A3A4 的四個頂點滿足:Ai∈αi(i=1,2,3,4),求該正四面體A1A2A3A4的體積.
          分析:(1)先取A2A4的三等分點p2,p3,A1A3的中點M,A2A4,的中點N,過三點A2,P2,M,作平面α2,過三點p3,A3,N作平面α3,先得到兩個平行平面,再過點A1,A4,分別作平面α1,α4,與平面α3平行即可.
          (2)直接利用(1)中的四個平面以及四面體,建立出以△A2A3A4的中心O為坐標(biāo)原點,以直線A4O為y軸,直線OA1為Z軸的直角坐標(biāo)系,求出各點對應(yīng)坐標(biāo),求出平面A3P3N的法向量,利用α1,α2,α3,α4相鄰平面之間的距離為1求出正四面體的棱長,進而代入體積公式求出體積即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖所示,取A1A4的三等分點p2,p3,A1A3的中點M,A2A4,的中點N,
          過三點A2,P2,M,作平面α2,過三點A3,P3,N作平面α3,
          因為A2P2∥NP3,A3P3∥MP2,所以平面α2∥α3,
          再過點A1,A4,分別作平面α1,α4,與平面α3平行,
          那么四個平面α1,α2,α3,α4依次互相平行,
          由線段A1A4被平行平面α1,α2,α3,α4截得的線段相等知,其
          中每相鄰兩個平面間的距離相等,故α1,α2,α3,α4為所求平面.


          (2):當(dāng)(1)中的四面體為正四面體,若所得的四個平行平面每相鄰兩平面之間的距離為1,
          則正四面體A1A2A3A4就是滿足題意的正四面體.
          設(shè)正四面體的棱長為a,以△A2A3A4的中心O為坐標(biāo)原點,以直線A4O為y軸,直線OA1為Z軸建立如圖所示的右手直角坐標(biāo)系,
          則A1(0,0,
          6
          3
          a),A2(-
          a
          2
          3
          6
          a,0),A3
          a
          2
          ,
          3
          6
          a,0),A4(0,-
          3
          3
          a,0).
          令P2,P3為.A1A4的三等分點,N為A2A4的中點,有P3(0,-
          2
          3
          9
          a,
          6
          9
          a),N(-
          a
          4
          ,-
          3
          12
          a,0),
          所以
          P3N
          =(-
          a
          4
          ,
          5
          3
          36
          a,-
          6
          9
          a),
          NA3
          =(
          3
          4
          a,
          3
          4
          a,0),
          A4N
          =(-
          a
          4
          ,
          3
          4
          a,0)
          設(shè)平面A3P3N的法向量
          n
          =(x,y,z),有
          n
          p3N
          =0 
          n
          NA3
          =0
          9x-5
          3
          y+4
          6
          z=0
          3x+
          3
          y=0
          ,
          所以
          n
          =(1,-
          3
          ,-
          6
          ).因為α1,α2,α3,α4相鄰平面之間的距離為1,
          所以點A4到平面A3P3N 的距離
          |(-
          a
          4
          )×1+
          3
          4
          a×(-
          3
          )+0×(-
          6
          )|
          1+(-
          3
          )
          2
          +(-
          6
          )
          2
          =1,解得a=
          10

          由此可得,邊長為
          10
          的正四面體A1A2A3A4滿足條件.
          所以所求四面體的體積V=
          1
          3
          Sh=
          1
          3
          ×
          3
          4
          a2
          ×
          6
          3
          a=
          2
          12
          a3=
          5
          5
          3
          點評:本題考查平面和平面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式的應(yīng)用.是道難題,第一問的關(guān)鍵點在與設(shè)出A2A4的三等分點p2,p3,過這二個點先作兩個過已知點的平行平面,另兩個平面就好求了.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)如圖,對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個相互平行的平面,使得,且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等;

          (2)給定依次排列的四個相互平行的平面,其中每相鄰兩個平面間的距離都為1,若一個正四面體的四個頂點滿足,求該正四面體的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省普通高中招生考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

          (本小題滿分14分)
          (1)如圖,對于任一給定的四面體,找出依
          次排列的四個相互平行的平面 ,使
          (i=1,2,3,4),且其中每相鄰兩個平面間
          的距離都相等;
          (2)給定依次排列的四個相互平行的平面,其中每相鄰兩個平面間的距離為1,若一個正四面體的四個頂點滿足:(i=1,2,3,4),求該正四面體的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)如圖,對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個相互平行的平面,,使得,且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等;

             (2)給定依次排列的四個相互平行的平面,,,其中每相鄰兩個平面間的距離都為1,若一個正四面體的四個頂點滿足:,求該正四面體的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(江西卷)解析版 題型:解答題

           

            (1)如圖,對于任一給定的四面體,找出依

                 次排列的四個相互平行的平面 ,使

                 得(i=1,2,3,4),且其中每相鄰兩個平面間

                 的距離都相等;

            (2)給定依次排列的四個相互平行的平面,其中每相鄰兩個平面間的距離為1,若一個正四面體的四個頂點滿足:(i=1,2,3,4),求該正四面體的體積.

             

           

           

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