Question

f（x）是定義在R上的增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（　�。�

A．f（x）+f（-x）是偶函數(shù)且是增函數(shù)

B．f（x）+f（-x）是偶函數(shù)且是減函數(shù)

C．f（x）-f（-x）是奇函數(shù)且是增函數(shù)

D．f（x）-f（-x）是奇函數(shù)且是減函數(shù)[

Answer 1

分析：設(shè)F（x）=f（x）-f（-x），先根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，再直接用-x代入計(jì)算，比較F（x）與F（-x），根據(jù)奇偶性的定義作出是奇函數(shù)判斷即可，從而選出正確選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)F（x）=f（x）-f（-x），
∵f（x）是定義在R的增函數(shù)
∴f（-x）是定義在R的減函數(shù)，從而-f（-x）是定義在R的增函數(shù)，
∴F（x）=（x）-f（-x）在（-∞，+∞）的增函數(shù)，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
則F（x）=-F（-x）
∴函數(shù)F（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，+∞）的增函數(shù)
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，同時(shí)考查分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．