Question

已知數(shù)列中，，且（）。

（I）     求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）   （II）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小；

（III）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，都有。

 

Answer 1

【答案】

（I）解：當(dāng)時(shí)，，（1分）

    當(dāng)時(shí)，。（2分）

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810174178661708/SYS201209081018145296684751_DA.files/image005.png">，所以。（3分）

    當(dāng)時(shí)，由累加法得，

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810174178661708/SYS201209081018145296684751_DA.files/image009.png">，所以時(shí)，有。

即。

又時(shí)，，

故。（5分）

（II）解：時(shí)，，則。

記函數(shù)，

所以。

則0。

所以。（7分）

由于，此時(shí)；

，此時(shí)；

，此時(shí)；

由于，故時(shí)，，此時(shí)。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（8分）

（III）證明：對(duì)于，有。

當(dāng)時(shí)，。

所以當(dāng)時(shí)，

。

且。

故對(duì)，得證。（10分）

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的綜合運(yùn)用，以及數(shù)列與不等式的關(guān)系的運(yùn)用。

（1）利用已知的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，并整體變形構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式。

（2）利用第一問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合分組求和的思想和等比數(shù)列的求和得到結(jié)論。

（3））先分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，然后裂項(xiàng)求和，證明不等是的成立問(wèn)題。