Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；                ②f（x）=2x；                    ③f（x）=

x

x2+x+1

；
你認為上述三個函數(shù)中，哪幾個是f函數(shù)，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義進行判定：對于①可以利用定義直接加以判斷；對于②可以利用絕對值的性質(zhì)將不等式變形為2≤m；對于③，需要通過討論，將不等式變形為|

1

x2+x+1

| ≤m，可以求出符合條件的m的最小值為

4

3

，如此可得到正確結(jié)論．

解答：解：對于①，顯然m是任意正數(shù)時都有0≤m|x|，f（x）=0是F函數(shù)；
對于②，顯然m≥2時，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函數(shù)；
對于③，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|

x

x2+x+1

| ≤m|x|
當x=0時，m可取任意正數(shù)；當x≠0時，只須m≥|

1

x2+x+1

|的最大值；
因為x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以m≥

4

3

因此，當m≥

4

3

時，f（x）=

x

x2+x+1

是F函數(shù)；
所以以上三個函數(shù)均為F函數(shù)．

點評：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進行檢驗，方可得出正確結(jié)論．