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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b是不同時(shí)為零的常數(shù)),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).
          (Ⅰ)當(dāng)a=
          1
          3
          時(shí),若不等式f′(x)>-
          1
          3
          對(duì)任意x∈R恒成立,求b的取值范圍;
          (Ⅱ)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在x=1處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)x+2y-3=0,關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,
          (i) 求f(x)的解析式;
          (ii)求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),將不等式f′(x)>-
          1
          3
          對(duì)任意x∈R恒成立,轉(zhuǎn)化為使x2+2bx+b>0恒成立,利用判別式,即可確定b的取值范圍;
          (Ⅱ)(i)利用函數(shù)f(x)為奇函數(shù),可得b=0,利用在x=1處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)x+2y-3=0,即可確定函數(shù)的解析式;
          (ii)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而分類(lèi)討論:當(dāng)t∈(-1,-
          3
          3
          )
          時(shí),即使f(-1)≤-
          1
          4
          t≤f(t)
          ;當(dāng)t∈(-
          3
          3
          ,0)
          時(shí),即使f(-1)=-
          1
          4
          t
          -
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          ;當(dāng)t∈[0,
          3
          3
          ]
          時(shí),即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          f(
          3
          3
          )≤-
          1
          4
          t<0
          ;當(dāng)t∈[
          3
          3
          ,1)
          時(shí),即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          f(t)≤-
          1
          4
          t<0
          ;當(dāng)t∈[1,
          2
          3
          3
          )
          時(shí),即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          -
          1
          4
          t=f(
          3
          3
          )
          ;當(dāng)t∈[
          2
          3
          3
          ,+∞)
          時(shí),即使-
          1
          4
          t=f(
          3
          3
          )
          f(-
          3
          3
          )<-
          1
          4
          t≤f(t)
          ,由此可知實(shí)數(shù)t的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=
          1
          3
          時(shí),f(x)=x2+2bx+b-
          1
          3

          若使不等式f′(x)>-
          1
          3
          對(duì)任意x∈R恒成立,只需使x2+2bx+b>0對(duì)任意x∈R恒成立,
          即使(2b)2-4b<0成立,∴b的取值范圍為:(0,1)
          (Ⅱ)(i)∵f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),∴f′(1)=3a+2b+(b-a)=2a+3b
          又在x=1處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)x+2y-3=0,∴2a+3b=2
          又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴b=0,∴a=1,
          ∴f(x)=x3-x
          (ii)求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=3x2-1
          令f′(x)>0,可得x<-
          3
          3
          或x>
          3
          3
          ,令f′(x)<0,可得-
          3
          3
          <x<
          3
          3

          ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
          3
          3
          ),(
          3
          3
          ,+∞),減區(qū)間為(-
          3
          3
          3
          3
          )

          當(dāng)t∈(-1,-
          3
          3
          )
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使f(-1)≤-
          1
          4
          t≤f(t)
          ,∴t∈(-
          3
          2
          ,-
          3
          3
          )

          當(dāng)t∈(-
          3
          3
          ,0)
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使f(-1)=-
          1
          4
          t
          -
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          ,此時(shí)無(wú)解
          當(dāng)t∈[0,
          3
          3
          ]
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          f(
          3
          3
          )≤-
          1
          4
          t<0
          ,∴t∈(0,
          3
          3
          ]

          當(dāng)t∈[
          3
          3
          ,1)
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          f(t)≤-
          1
          4
          t<0
          ,∴t∈(
          3
          3
          ,
          3
          2
          ]

          當(dāng)t∈[1,
          2
          3
          3
          )
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使-
          1
          4
          t=f(-
          3
          3
          )
          -
          1
          4
          t=f(
          3
          3
          )
          ,此時(shí)無(wú)解
          當(dāng)t∈[
          2
          3
          3
          ,+∞)
          時(shí),若使關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          4
          t
          在[-1,t](t>-1)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即使-
          1
          4
          t=f(
          3
          3
          )
          f(-
          3
          3
          )<-
          1
          4
          t≤f(t)
          ,∴t∈(
          2
          3
          3
          ,
          8
          3
          9
          ]

          綜上,可知實(shí)數(shù)t的取值范圍為:(-
          3
          2
          ,-
          3
          3
          )∪(0,
          3
          2
          ]∪(
          2
          3
          3
          8
          3
          9
          ]
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性,研究恒成立問(wèn)題,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng),難度大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿(mǎn)足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案