Question

已知中心在坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C₁，點(

5

，-1)在曲線C₁上，橢圓C的焦點是雙曲線C₁的頂點，且橢圓C與y軸正半軸的交點M到直線x-

3

y-2=0的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C₁和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩動點，若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線C₁的方程，利用C₁過(

5

，-1)點，即可求得等軸雙曲線C₁的方程；根據(jù)雙曲線的頂點即橢圓的焦點坐標(biāo)，可設(shè)橢圓的方程，利用M到直線x-

3

y-2=0的距離為4，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程代入橢圓方程并化簡，可得一元二次方程，進而可表示四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線C₁的方程為x²-y²=λ（λ≠0）
因C₁過(

5

，-1)點，所以(

5

)2-1=λ，解得λ=4
所以等軸雙曲線C₁的方程為x²-y²=4…（3分）
因為雙曲線的頂點即橢圓的焦點坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）
所以可設(shè)橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，且M（0，b）
因為M（0，b）到直線x-

3

y-2=0的距離為4，所以

|- 3 b-2|

12+3

=4
∴b=2

3

∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t
把y=

1

2

x+t代入

x2

16

+

y2

12

=1并化簡得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12…（9分）
又直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點，所以|PQ|=6
所以四邊形APBQ的面積S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

則當(dāng)t=0，面積的最大值為12

3

，即Smax=12

3

…（12分）

點評：本題考查雙曲線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．