Question

設(shè)點(diǎn)F是拋物L(fēng)：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P₁，P₂，…，P_n是拋物線L上的n個(gè)不同的點(diǎn)n（n≥3，n∈N^*）．
（1）當(dāng)p=2時(shí)，試寫出拋物線L上三點(diǎn)P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)，時(shí)期滿足；
（2）當(dāng)n≥3時(shí)，若，求證：；
（3）當(dāng)n＞3時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：“若，則”開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題．
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究：
1．試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該命題確實(shí)是假命題的反例；
2．對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)n，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說(shuō)明你的理由：
3．如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該命題為真，請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說(shuō)明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線l的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃=3，故可取滿足條件的三點(diǎn)；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，從而可證=np
（3）①取n=4時(shí)，拋物線l的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，從而可得結(jié)論；
②設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，從而可得結(jié)論；
③補(bǔ)充條件：點(diǎn)P_i的縱坐標(biāo)滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當(dāng)n＞3時(shí)，，點(diǎn)P_i的縱坐標(biāo)滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則．
解答：解：（1）拋物線l的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分別過(guò)P₁、P₂、P₃作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）=x₁+x₂+x₃+=6
∵p=2，∴x₁+x₂+x₃=3
故可取P₁（），P₂（1，2），P₃（，）滿足條件；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）+…+（x_n+）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+
∵           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
∴=+=np
（3）①取n=4時(shí)，拋物線l的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取，，，，則
故，，，是一個(gè)當(dāng)n=4時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例；
②設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過(guò)P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∵，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n+=np，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以將這n點(diǎn)都取在x軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于0，則
=（0，y₁+y₂+…+y_n）≠
③補(bǔ)充條件：點(diǎn)P_i的縱坐標(biāo)滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當(dāng)n＞3時(shí)，，點(diǎn)P_i的縱坐標(biāo)滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則
由②知，命題為真．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，難度較大．