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        1. 設(shè)點(diǎn)F是拋物L(fēng):y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P1,P2,…,Pn是拋物線L上的n個(gè)不同的點(diǎn)n(n≥3,n∈N*).
          (1)當(dāng)p=2時(shí),試寫出拋物線L上三點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo),時(shí)期滿足;
          (2)當(dāng)n≥3時(shí),若,求證:
          (3)當(dāng)n>3時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:“若,則”開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
          請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
          1.試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該命題確實(shí)是假命題的反例;
          2.對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)n,試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由:
          3.如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由.
          【答案】分析:(1)拋物線l的焦點(diǎn)為F(,0),設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),利用拋物線的定義可得x1+x2+x3=3,故可取滿足條件的三點(diǎn);
          (2)設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),…,Pn(xn,yn),分別過(guò)P1、P2、P3,…,Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,…,Qn,利用拋物線的定義可得x1+x2+x3+…+xn=,從而可證=np
          (3)①取n=4時(shí),拋物線l的焦點(diǎn)為F(,0),設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),分別過(guò)P1、P2、P3,P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,Q4,利用拋物線的定義,可得x1+x2+x3+x4=2p,從而可得結(jié)論;
          ②設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),…,Pn(xn,yn),分別過(guò)P1、P2、P3,…,Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,…,Qn,利用拋物線的定義,可得x1+x2+x3+…+xn=,從而可得結(jié)論;
          ③補(bǔ)充條件:點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0,即當(dāng)n>3時(shí),,點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0,則
          解答:解:(1)拋物線l的焦點(diǎn)為F(,0),設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),
          分別過(guò)P1、P2、P3作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,
          =(x1+)+(x2+)+(x3+)=x1+x2+x3+=6
          ∵p=2,∴x1+x2+x3=3
          故可取P1),P2(1,2),P3,)滿足條件;
          (2)設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),…,Pn(xn,yn),分別過(guò)P1、P2、P3,…,Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,…,Qn
          =(x1+)+(x2+)+(x3+)+…+(xn+)=x1+x2+x3+…+xn+
                     
          ∴x1+x2+x3+…+xn=
          =+=np
          (3)①取n=4時(shí),拋物線l的焦點(diǎn)為F(,0),設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),分別過(guò)P1、P2、P3,P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,Q4
          =x1+x2+x3+x4+2p=4p
          ∴x1+x2+x3+x4=2p
          不妨取,,,,則
          ,,是一個(gè)當(dāng)n=4時(shí),該逆命題的一個(gè)反例;
          ②設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),…,Pn(xn,yn),分別過(guò)P1、P2、P3,…,Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為Q1、Q2、Q3,…,Qn
          ,∴x1+x2+x3+…+xn+=np,∴x1+x2+x3+…+xn=
          因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以將這n點(diǎn)都取在x軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于0,則
          =(0,y1+y2+…+yn)≠
          ③補(bǔ)充條件:點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0,即當(dāng)n>3時(shí),,點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0,則
          由②知,命題為真.
          點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的定義,考查向量的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•普陀區(qū)一模)設(shè)點(diǎn)F是拋物L(fēng):y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P1,P2,…,Pn是拋物線L上的n個(gè)不同的點(diǎn)n(n≥3,n∈N*).
          (1)當(dāng)p=2時(shí),試寫出拋物線L上三點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo),時(shí)期滿足|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+|
          FP3
          |=6
          ;
          (2)當(dāng)n≥3時(shí),若
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
          ,求證:|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |=np

          (3)當(dāng)n>3時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:“若|
          FP1
          |+| 
          FP2
          |+…+|  
          FPN
          |=np
          ,則
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPN
          =
          0
          ”開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
          請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
          1.試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該命題確實(shí)是假命題的反例;
          2.對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)n,試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由:
          3.如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          設(shè)點(diǎn)F是拋物L(fēng):y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P1,P2,…,Pn是拋物線L上的n個(gè)不同的點(diǎn)n(n≥3,n∈N*).
          (1)當(dāng)p=2時(shí),試寫出拋物線L上三點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo),時(shí)期滿足數(shù)學(xué)公式
          (2)當(dāng)n≥3時(shí),若數(shù)學(xué)公式,求證:數(shù)學(xué)公式
          (3)當(dāng)n>3時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:“若數(shù)學(xué)公式,則數(shù)學(xué)公式”開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
          請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
          1.試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該命題確實(shí)是假命題的反例;
          2.對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)n,試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由:
          3.如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由.

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