Question

已知向量

a

=(sinx，2cosx)，

b

=(5

3

cosx，sinx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+|

a

|2+

3

2

.
（1）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位后，再將所得圖象上各點(diǎn)向下平移5個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的圖象與直線x=

π

6

，x=

π

2

以及x軸所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）本題要整理函數(shù)f（x）的解析式，以向量為載體，整理的是向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算，代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，要用到三角恒等變換，整理成y=Asin（ωx+φ）+b的形式，可以進(jìn)行性質(zhì)的運(yùn)算．
（2）根據(jù)圖象平移的規(guī)律，寫出函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象和兩條直線圍成的封閉圖形，問題轉(zhuǎn)化為求定積分．

解答：解：（1）∵

a

=(sinx，2cosx)，

b

=(5

3

cosx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

+|

a

|2+

3

2

=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+5•

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)≤1
∴

15

2

≤5sin(2x+

π

6

)+5≤10
即x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="fkh2rgz" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

15

2

，10]
（2）由題意知，g(x)=5sin[2(x-

π

12

)+

π

6

]+5-5=5sin2xs=

∫

π 2 π 6

5sin2xdx=-

5

2

cos2x

∫

π 2 π 6

5=-

5

2

(cosπ-cos

π

3

)=

15

4

即面積為

15

4

點(diǎn)評(píng)：本題表面上是對(duì)向量數(shù)量積的考查，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角和模，用數(shù)量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉(zhuǎn)移到求值域的問題，求面積問題，這是高考題目中最常出現(xiàn)的一種題型．