Question

如圖所示，已知A（-1，0），B（1，0），直線l垂直AB于A點(diǎn)，P為l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BP上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)M滿足

 (λ＞0), =0．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；

（2）在上述曲線內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線C交于兩點(diǎn)E、F，使得以EF為直徑的圓都與l相切?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：由知點(diǎn)N為BP中點(diǎn)，

由(λ＞0)知且點(diǎn)M與B位于l同側(cè).            

∵=0,∴.

由此知MN為線段BP的垂直平分線，所以應(yīng)有｜MB｜=｜MP｜.                 

由拋物線定義知點(diǎn)M的軌跡為拋物線，點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線，

(1)因?yàn)锳(-1,0)，B(1,0)，所以l:x=-1.

拋物線方程為y²=4x,即為點(diǎn)M的軌跡方程.                                     

(2)存在點(diǎn)Q，即為焦點(diǎn)B(1,0).                                              

證明如下：設(shè)EF為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其中點(diǎn)為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T.

由梯形的中位線知：

｜HS｜=(｜ER｜+｜FT｜)=(｜EB｜+｜FB｜)=｜EF｜,                  

即以EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑.

所以以EF為直徑的圓必與直線l相切.

所以存在點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(1,0).