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        1. (2010•廣州模擬)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.
          (1)證明:當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí),D1E⊥A1D;
          (2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E,使二面角D1-EC-D的平面角為
          π6
          ?若存在,求出AE的長;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)E(1,y0,0)(0≤y0≤2)分別求出
          D1E
          A1D
          ,然后計(jì)算數(shù)量積為0可判定D1E⊥A1D;
          (2)先根據(jù)線面垂直求出平面D1EC的法向量為
          n1
          ,而平面ECD的一個(gè)法向量為
          n2
          =(0,0,1),要使二面角D1-EC-D的平面角為
          π
          6
          ,則cos
          π
          6
          =|cos<n1n2>|=
          |n1n2|
          |n1|•|n2|
          ,可解得y0,求出所求.
          解答:解:以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1).(1分)
          設(shè)E(1,y0,0)(0≤y0≤2).(2分)
          (1)證明:
          D1E
          =(1,y0,-1)
          ,
          A1D
          =(-1,0,-1)

          D1E
          A1D
          =(1,y0,-1)•(-1,0,-1)=0

          D1E
          A1D
          ,即D1E⊥A1D. (4分)
          (2)解:當(dāng)AE=2-
          3
          3
          時(shí),二面角D1-EC-D的平面角為
          π
          6
          .(5分)
          EC
          =(-1,2-y0,0)
          ,
          D1C
          =(0,2,-1)
          ,(6分)
          設(shè)平面D1EC的法向量為
          n1
          =(x,y,z),
          n1
          EC
          =0
          n1
          D1C
          =0.
          -x+y(2-y0)=0
          2y-z=0.
          (8分)
          取y=1,則n1=(2-y0,1,2)是平面D1EC的一個(gè)法向量.(9分)
          而平面ECD的一個(gè)法向量為
          n2
          =(0,0,1),(10分)
          要使二面角D1-EC-D的平面角為
          π
          6
          ,
          cos
          π
          6
          =|cos<n1,n2>|=
          |n1n2|
          |n1|•|n2|
          =
          2
          (2-y0)2+12+22
          =
          3
          2
          ,(12分)
          解得y0=2-
          3
          3
          (0≤y0≤2).
          ∴當(dāng)AE=2-
          3
          3
          時(shí),二面角D1-EC-D的平面角為
          π
          6
          .(14分)
          點(diǎn)評:本題主要考查了兩直線垂直的判定,以及利用空間向量的方法求解二面角的平面角,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
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          興趣小組 小組人數(shù) 抽取人數(shù)
          A 24 x
          B 36 3
          C 48 y
          (1)求x,y的值;
          (2)若從A,B兩個(gè)興趣小組抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這2人都來自興趣小組B的概率.

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