Question

如圖，在四棱錐中，側(cè)面

是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面交于． 

(1)求證：；   (2)求證：是中點(diǎn)；(3)求證：平面⊥平面.

Answer 1

(1)略    (2)略      (3)略

解析:

證明：（1）連結(jié)，，設(shè)，連結(jié)    

 ∵是的菱形  ∴是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，∴， 又，      ∴                                   

（2）依題意有  ∴平面， 而平面平面     

∴， ∴，（或證∥平面）     ∴        

  又是中點(diǎn)    ∴是中點(diǎn)

（3）取AD中點(diǎn)E，連結(jié),,,如右圖

∵為邊長(zhǎng)為2的菱形，且，∴為等邊三角形，又為的中點(diǎn)

∴ ，又∵，∴⊥面，∴AD⊥PB ， 又∵，為的中點(diǎn)，∴，∴平面而平面                                 

∴平面平面