Question

【題目】已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是橢圓上的兩點(diǎn)，連接的直線平行交軸于點(diǎn)，證明： 成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程進(jìn)行求解；（2）借助題設(shè)條件建立直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析推證：

（Ⅰ）由， 得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)， ， ，則，

將代入，整理得
，
，得，
，

，

．
將代入，整理得 ，
得， ．
故，
所以， 成等比數(shù)列．

【試題分析】橢圓是圓錐曲線的代表之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)。求解本題的第一問(wèn)時(shí)，直接依據(jù)題設(shè)建立方程組進(jìn)行求解，從而使得問(wèn)題獲解；解答第二問(wèn)時(shí)，先建立直線的方程，后借助交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系及兩點(diǎn)間距離公式分析推證，進(jìn)而使得問(wèn)題獲證。