Question

（2013•東坡區(qū)一模）若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x） 是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0 是常數(shù)函數(shù)中唯一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；
②f（x）=x不是“λ-伴隨函數(shù)”；
③f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”； 
④“

1

2

-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中不正確的序號(hào)是

①③

（填上所有不正確的結(jié)論序號(hào)）．

Answer 1

分析：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”；
②根據(jù)f（x）=x，可得f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，故不存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立；
③用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，從而有λ+1=2λ=λ²=0，此式無解；
④令x=0，可得f（

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2

）=-

1

2

f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0，由此可得結(jié)論．

解答：解：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”，故①不正確；
②∵f（x）=x，∴f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，當(dāng)λ=-1時(shí)，f（x+λ）+λf（x）=-1≠0；λ≠-1時(shí)，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，∴（x）=x不是“λ-伴隨函數(shù)”，故②正確；
③用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，故③不正確；
④令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“

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2

-伴隨函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故④正確
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ-伴隨函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．