Question

設(shè){a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=0，若c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)依次為1，1，2
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）在數(shù)列{a_n}中依次抽出第1，2，4…2^n-1項(xiàng)組成新數(shù)列{k_n}，寫出{k_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)d_n=a_n-b_n，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立關(guān)于{a_n}的公差d和{b_n}的公比q的方程組，解出d、q的值即可{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由{a_n}的通項(xiàng)公式，將n=2^n-1代入即可得到{k_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（1）的結(jié)論得d_n=1-n-2^n-1 ，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式加以計(jì)算，即可得到{d_n}的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．

解答：解：：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意得

d+q=1 2d+q2=2

，解得

d=1 q=0

（舍去）或

d=-1 q=2

，…（4 ）分
∴{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=1-n，b_n=2^n-1 ．  …（6）分
（2）根據(jù)題意，可得k_n=a2n-1=1-2^n-1           …（10分）
（3）∵a_n=1-n，b_n=2^n-1 ，d_n=a_n-b_n，
∴d_n=1-n-2^n-1 ，…（12分）
可得{d_n}的前n項(xiàng)和為
S_n=[（1-1）-2⁰]+[（1-2）-2¹]+[（1-3）-2²]+…+[（1-n）-2^n-1 ]，
=[n-（1+2++…+n）]-

1-2n

1-2

=n-

n(n+1)

2

+1-2ⁿ
=

-n2+n+2

2

-2ⁿ．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列滿足的條件，求它們的通項(xiàng)公式并依此求另一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和．著重考查了等差行數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．