Question

（2012•棗莊二模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，且函數(shù)y=f(x-

3

4

)為奇函數(shù)，給出三個結(jié)論：
①f（x）是周期函數(shù)；②f（x）是圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱；③f（x）是偶函數(shù)．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．O

Answer 1

分析：①函數(shù)f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，則f（x+3）=-f(x+

3

2

)=f(x)，故f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)y=f(x-

3

4

)為奇函數(shù)，可得f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，故f（x）是圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱；
③由f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，可得f（-x）=-f(x-

3

2

)=-f(x+

3

2

)=f(x)，即f（x）是偶函數(shù)．

解答：解：函數(shù)f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，則f（x+3）=-f(x+

3

2

)=f(x)，∴f（x）是周期函數(shù)，故①正確；
∵函數(shù)y=f(x-

3

4

)為奇函數(shù)，∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，∴f（x）是圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱，故②正確；
∵f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，∴f（-x）=-f(x-

3

2

)=-f(x+

3

2

)=f(x)，∴f（x）是偶函數(shù)，故③正確
綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為3個
故選A．

點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．