Question

（2012•安徽）設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=ax+

1

ax

+b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=

3

2

x，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a＞0，x＞0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=

3

2

x，建立方程組，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ax+

1

ax

+b≥2

ax• 1 ax

+b=b+2
當(dāng)且僅當(dāng)ax=1（x=

1

a

）時(shí)，f（x）的最小值為b+2
（Ⅱ）由題意，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=

3

2

x，可得：
f（1）=

3

2

，∴a+

1

a

+b=

3

2

①
f'（x）=a-

1

ax2

，∴f′（1）=a-

1

a

=

3

2

②
由①②得：a=2，b=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．