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        1. 已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.
          (1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值;
          (2)求證:若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,則其前n項的和數(shù)學公式;
          (3)已知{an}是各項非負的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

          解:(1)設(shè),則c1=0,c2=2,c3=6,
          易得c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,即數(shù)列{cn}一定是“2項可減數(shù)列”,
          但因為c3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以K的最大值為2. 
          (2)因為數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,
          所以ak-at(t=1,2…,K)必定是數(shù)列{an}中的項,

          而{an}是遞增數(shù)列,故ak-ak<ak-ak-1<ak-ak-2<…<ak-a1,
          所以必有ak-ak=a1,ak-ak-1=a2,ak-ak-2=a3,…,ak-a1=ak,
          則a1+a2+a3+…+ak=(ak-ak)+(ak-ak-1)+(ak-ak-2)+…+(ak-a1)=Kak-(a1+a2+a3+…+ak),
          所以SK=KaK-SK,即
          又由定義知,數(shù)列{an}也是“t項可減數(shù)列”(t=1,2,…,K-1),
          所以.                         
          (3)(2)的逆命題為:
          已知數(shù)列{an}為各項非負的遞增數(shù)列,若其前n項的和滿足
          則該數(shù)列一定是“K項可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.   
          理由如下:因為≤n≤K),所以當n≥2時,,
          兩式相減,得,即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2)(*)
          則當n≥3時,有(n-3)an-1=(n-2)an-2(**)
          由(**)-(*),得an+an-2=2an-1(n≥3),
          ,所以a1=0,故數(shù)列a1,a2,…,aK是首項為0的遞增等差數(shù)列.
          設(shè)公差為d(d>0),則an=(n-1)d,(n=1,2,…,K),
          對于任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai=(j-i)d=aj-i+1,
          因為1≤1≤j-i+1≤K,所以aj-ai仍是a1,a2,…,aK中的項,
          故數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”.                      


          分析:要緊扣新概念,借助于等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列前N項和的性質(zhì).
          (1)由于,則,緊扣K項可減數(shù)列的概念,求出k值;
          (2)要緊扣新概念,因為數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,所以ak-at(t=1,2…,K)必定是數(shù)列{an}中的項;
          (3)考查命題的真假,要有數(shù)列前N項和公式求通項公式,由即可求出.
          點評:本題是創(chuàng)新概念題,做題時要緊扣新概念.結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)來完成.
          練習冊系列答案
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          (2011•鹽城二模)已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.
          (1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值;
          (2)求證:若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,則其前n項的和Sn=
          n2
          an(n=1,2,…,K)
          ;
          (3)已知{an}是各項非負的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省揚州中學2012屆高三4月雙周練習(一)數(shù)學試題 題型:044

          已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.

          (1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{bn-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值.

          (2)求證:若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,則其前n項的和

          (3)已知{an}是各項非負的遞增數(shù)列,寫出⑵的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:鹽城二模 題型:解答題

          已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.
          (1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值;
          (2)求證:若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,則其前n項的和Sn=
          n
          2
          an(n=1,2,…,K)
          ;
          (3)已知{an}是各項非負的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2011年江蘇省鹽城市高考數(shù)學二模試卷(解析版) 題型:解答題

          已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負,對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.
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          (3)已知{an}是各項非負的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

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