Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）設(shè)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（1）中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點(diǎn)，求

OP

•

OQ

的取值范圍；
（3）設(shè)A為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸的一個端點(diǎn)，B為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的一個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記∠BFO=θ．當(dāng)橢圓C同 時滿足下列兩個條件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②O到直線AB的距離為

2

2

，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a²=b²+1，且2b²=a²+1，聯(lián)立可解得a²，b²；
（2）將y=kx+1代入橢圓方程消掉y可得關(guān)于x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理可把

OP

•

OQ

表示為k的函數(shù)，根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)可求得

OP

•

OQ

的取值范圍；
（3）由條件②利用點(diǎn)到直線的距離公式可得a，b的關(guān)系式，由條件①

3

3

≤tanθ≤1，即

3

3

≤

b

c

≤1，該不等式可化為關(guān)于a的不等式，解出可得a的范圍；

解答：解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，
聯(lián)立解得a²=3，b²=2，
∴橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）將y=kx+1代入橢圓方程，得

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1，
化簡得，（3k²+2）x²+6kx-3=0，△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=

-3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

，
由k²≥0，得3k²+2≥2，0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

，
∴

OP

•

OQ

的取值范圍是(-2，-

1

2

]．
（3）A（-a，0），B（0，b），直線AB的方程為：

x

-a

+

y

b

=1，即bx-ay+ab=0，
由②得，

ab

a2+b2

=

2

2

，整理得，b2=

a2

2a2-1

，
由①得，

3

3

≤tanθ≤1，即

3

3

≤

b

c

≤1，
∴

1

3

≤

b2

c2

≤1，
又∵c2=a2-b2=a2-

a2

2a2-1

=

2a4-2a2

2a2-1

，
∴

1

3

≤

a2 2a2-1

2a4-2a2 2a2-1

≤1，即

1

3

≤

1

2a2-2

≤1，
∴1≤2a²-2≤3，解得

6

2

≤a≤

10

2

，
∴

6

≤2a≤

10

，
∴橢圓長軸長的范圍為：[

6

，

10

]．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓方程的求解，考查橢圓中的不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．