Question

已知復(fù)數(shù)z₁=3+4i，z₂的平方根是2+3i，且函數(shù)f(x)=

2x

x+1

．
（1）求f(

.

z1

+z2)；
（2）若f（z）=1+i，求z．

Answer 1

分析：（1）把復(fù)數(shù)2+3i求平方運(yùn)算解得z₂，求出

.

z1

+z2后直接代入函數(shù)解析式，然后利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)整理；
（2）把z代入函數(shù)解析式，得到f(z)=

2z

z+1

=1+i，整理后得到z=

1+i

1-i

，然后利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z．

解答：解：（1）由復(fù)數(shù)z₁=3+4i，則

.

z1

=3-4i，又z₂的平方根是2+3i，所以z2=(2+3i)2=-5+12i．
所以

.

z1

+z2=3-4i+(-5+12i)=-2+8i，
則f(

.

z1

+z2)=f(-2+8i)=

2(-2+8i)

-2+8i+1

=

-4+16i

-1+8i

=

(-4+16i)(-1-8i)

(-1+8i)(-1-8i)

=

132+16i

65

=

132

65

+

16

65

i．
（2）由f(z)=

2z

z+1

=1+i，
得：2z=（1+i）（z+1）=z+1+iz+i，即（1-i）z=1+i，
所以z=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．