Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若當(dāng)最小時，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：
（1）根據(jù)橢圓的中心在原點(diǎn)可以設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可求的c值，所以利用長軸長與短軸長之比和a,b,c的關(guān)系可以建立關(guān)于a,b的兩個方程式聯(lián)立消元即可求的a,b的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方差.（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示,利用點(diǎn)P在橢圓上，得到關(guān)于m和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)最值問題，可以得到取得最小值時，m和P點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用P橫坐標(biāo)的范圍得到m的取值范圍即可.
試題解析：
（1）設(shè)橢圓的方程為.      1分
由題意有：，      3分
解得.      5分
故橢圓的方程為.      6分
（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為，故.     7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/7/uqdin2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
   10分
因?yàn)楫?dāng)最小時，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)時，
取得最小值．而，
故有，解得．        12分
又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即．       13分
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．      14分
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓幾何性質(zhì)最值