Question

(幾何證明選講)D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD、AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²－14x＋mn＝0的兩個(gè)根．

(1)證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；

(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圓的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中， 　　 　　即．又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB 　　所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓． 　　(Ⅱ)m＝4，n＝6時(shí)，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12． 　　取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH．因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH． 　　由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5． 　　故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5