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        1. 設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          過點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn),且離心率e=
          1
          2

          (1)求橢圓C的方程.
          (2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM、AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=-
          1
          2
          ,求直線l的方程.
          分析:(1)由橢圓C過點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),且離心率e=
          1
          2
          ,可得
          e=
          c
          a
          =
          1
          2
          1
          a2
          +
          9
          4b2
          =1
          a2=b2+c2
          ,解出即可;
          (2)由(1)可得:左頂點(diǎn)A(-2,0),右焦點(diǎn)(1,0).由題意可知直線l不存在時不滿足條件,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用斜率計算公式可得k1+k2=-
          1
          2
          ,即
          y1
          x1+2
          +
          y2
          x2+2
          =-
          1
          2
          ,代入化簡整理即可得出.
          解答:解:(1)∵橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          過點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),且離心率e=
          1
          2
          ,∴
          e=
          c
          a
          =
          1
          2
          1
          a2
          +
          9
          4b2
          =1
          a2=b2+c2
          ,解得
          a=2c=2
          b2=3
          ,∴橢圓C的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1

          (2)由(1)可得:左頂點(diǎn)A(-2,0),右焦點(diǎn)(1,0).
          由題意可知直線l不存在時不滿足條件,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).
          聯(lián)立
          y=k(x-1)
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          ,化為(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由題意可得△>0.
          x1+x2=
          8k2
          3+4k2
          ,x1x2=
          4k2-12
          3+4k2

          k1+k2=-
          1
          2
          ,∴
          y1
          x1+2
          +
          y2
          x2+2
          =-
          1
          2
          ,
          化為2k(x1-1)(x2+2)+2k(x2-1)(x1+2)+(x1+2)(x2+2)=0,
          整理為(4k+1)x1x2+(2k+2)(x1+x2)+4-8k=0.
          代入得
          (4k+1)(4k2-12)
          3+4k2
          +
          8k2(2k+2)
          3+4k2
          +4-8k=0,
          整理為k2-2k=0,解得k=0或2.
          k=0不滿足題意,應(yīng)舍去.
          故k=2,此時直線l的方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0.
          點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>1)右焦點(diǎn)為F,它與直線l:y=k(x+1)相交于P、Q兩點(diǎn),l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d,若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項.
          (1)求橢圓離心率e;
          (2)設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對稱,若以N為圓心,b為半徑的圓與l相切,且
          OP
          OQ
          =-
          5
          3
          求橢圓C的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左.右焦點(diǎn)分別為F1F2,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且2
          F1F2
          +
          F2Q
          =
          0

          (1)若過A.Q.F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x-
          3
          y-3=0相切,求橢圓C的方程;
          (2)在(1)的條件下,過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M.N兩點(diǎn).試證明:
          1
          |F2M|
          +
          1
          |F2N|
          為定值;②在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•鹽城一模)設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          恒過定點(diǎn)A(1,2),則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
          5
          +2
          5
          +2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若P 是橢圓上的一點(diǎn),|
          PF1
          |+|
          PF2
          |=4
          ,離心率e=
          3
          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),
          PF1
          PF2
          =-
          5
          4
          ,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)設(shè)過定點(diǎn)P(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e=
          2
          2
          ,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
          3
          y-3=0
          相切.
          (I)求橢圓C的方程;
          (II)直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn),D為橢圓上異于A、B的點(diǎn),求△ABD面積的最大值.

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