Question

（湖南卷文21）已知函數(shù)有三個極值點。

（I）證明：；

（II）若存在實數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍。

Answer 1

【試題解析】

（I）因為函數(shù)有三個極值點,

所以有三個互異的實根.

        設則

        當時， 在上為增函數(shù);

        當時， 在上為減函數(shù);

        當時， 在上為增函數(shù);

       所以函數(shù)在時取極大值,在時取極小值.

       當或時,最多只有兩個不同實根.

       因為有三個不同實根, 所以且.

       即,且,

解得且故.

（II）由（I）的證明可知，當時, 有三個極值點.

         不妨設為（），則

         所以的單調遞減區(qū)間是,

         若在區(qū)間上單調遞減，

則, 或,

  若,則.由（I）知，,于是

  若,則且.由（I）知，

         又當時，;

         當時，.

         因此, 當時，所以且

即故或反之, 當或時，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.

綜上所述, 的取值范圍是.