Question

【題目】已知， .

（1）若曲線在點處的切線的斜率為5，求的值；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的值；

（3）當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）本問考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算，由題對求導(dǎo)得， ，則，于是；（2）本問考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值， ，當(dāng)，則，分別討論當(dāng)， 時，函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最小值，令最小值等于，求出的值；（3）本問考查恒成立問題的解法，首先將不等式 等價轉(zhuǎn)化為 ，即 ，所以問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用已經(jīng)得到的單調(diào)性可以求出最小值，進(jìn)而求出的范圍.

試題解析：（1）， ， .

（2）函數(shù)的定義域為，

，

令，則，

①當(dāng)，即時，在上， ，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值.

②當(dāng)，即時，在上， ，函數(shù)單調(diào)遞減；在上， ，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為 ，解得.

綜上，若函數(shù)的最小值為，則.

（3）由 得，

，即 ，

令，則 ，

由（1）可知，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上， 單調(diào)遞增，所以在上， ，所以，即.