Question

（2013•大興區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，0]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三種情況進行討論即可解得，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中a＞0時函數(shù)的單調(diào)性進行討論：按極值點x=-

a+1

a

在區(qū)間[-2，0]左側(cè)、區(qū)間內(nèi)兩種情況討論，由單調(diào)性即可得到最小值；

解答：解：定義域為R，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1），
（Ⅰ）①當(dāng)a=0時，f′（x）=e^x＞0，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，解f′（x）＞0得，x＞-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＜-

a+1

a

，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-

a+1

a

，+∞)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

a+1

a

)；
③當(dāng)a＜0時，解f′（x）＞0得，x＜-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＞-

a+1

a

，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

a+1

a

)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

a+1

a

，+∞)；
（Ⅱ）①當(dāng)

a＞0 - a+1 a ＞-2

時，即當(dāng)a＞1時，f（x）在(-2，-

a+1

a

)上是減函數(shù)，在(-

a+1

a

，0)上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為 f(-

a+1

a

)=-ae-

a+1

a

；
②當(dāng)

a＞0 - a+1 a ≤-2

時，即當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為f(-2)=

1-2a

e2

，
綜上：當(dāng)a＞1時，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為-ae-

a+1

a

，當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為

1-2a

e2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．