已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是
,離心率
,
為橢圓上任一點(diǎn),且
的最大面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的直線
交橢圓
于
兩點(diǎn),且以
為直徑的圓恒過原點(diǎn)
,若實(shí)數(shù)
滿足條件
,求
的最大值.
(Ⅰ)橢圓的方程
;(Ⅱ)
的最大值為
.
解析試題分析:(Ⅰ)依題意得:,這是一個(gè)關(guān)于
的方程組,解這個(gè)方程組便可得
的值,從而得橢圓
的方程.
(Ⅱ)設(shè),由于以
為直徑的圓恒過原點(diǎn)
,所以
,即
……………………………………………………①
設(shè)直線的方程
,聯(lián)立方程組
,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得:
、
,代入①便得一個(gè)含
的等式.
將變形化簡得:
.
因此,要求的最大值,只需求
的最大值,而
可以用含
的式子表示出來,再利用前面含
的等式換掉一個(gè)變量,得一個(gè)只含一個(gè)變量的式子,再利用求函數(shù)最值的方法,便可求出其最大值.
試題解析:(Ⅰ)依題意得:,解得:
,
于是:橢圓的方程
,
(Ⅱ)設(shè)直線的方程
由
得:
,
設(shè),則
.
由于以為直徑的圓恒過原點(diǎn)
,于是
,即
,
又,
于是:,即
依題意有:,即
.
化簡得:.
因此,要求的最大值,只需求
的最大值,下面開始求
的最大值:
.
點(diǎn)到直線
的距離
,于是:
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/be/9/1xa4z3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
代入得.
令,
于是:.
當(dāng)即
,即
時(shí),
取最大值,且最大值為
.
于是:的最大值為
.
考點(diǎn):1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線
與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖示:已知拋物線的焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
作直線
交拋物線
于
、
兩點(diǎn),經(jīng)過
、
兩點(diǎn)分別作拋物線
的切線
、
,切線
與
相交于點(diǎn)
.
(1)當(dāng)點(diǎn)在第二象限,且到準(zhǔn)線距離為
時(shí),求
;
(2)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓
和圓
.
(1)若直線過點(diǎn)
,且被圓
截得的弦長為
,求直線
的方程;
(2)設(shè)為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)
的無窮多對互相垂直的直線
和
,它們分別與圓
和圓
相交,且直線
被圓
截得的弦長與直線
被圓
截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線以橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線
的一條漸近線是
,
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線
交于不同兩點(diǎn)
,且
都在以
為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),過點(diǎn)F2作直線
與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且
,若
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)在
軸上,若右焦點(diǎn)到直線
的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)
、
,當(dāng)
時(shí),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G:相交于B、C,當(dāng)直線l的斜率是
時(shí),
.
(Ⅰ)求拋物線G的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,
、
分別是橢圓
的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于
、
兩點(diǎn),其中
在第一象限.過
作
軸的垂線,垂足為
.連接
,并延長交橢圓于點(diǎn)
.設(shè)直線
的斜率為
.
(Ⅰ)當(dāng)直線平分線段
時(shí),求
的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)
到直線
的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:
.
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