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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知A、B兩點在拋物線C:x2=4y上,點M(0,4)滿足
          MA
          BM

          (1)求證:
          OA
          OB
          ;
          (2)設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.
          ①求證:點N在一條定直線上;
          ②設4≤λ≤9,求直線MN在x軸上截距的取值范圍.
          分析:先設A,B的坐標和直線AB的方程,再聯立直線與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程得到兩根之和與兩根之積.
          (1)根據向量的數量積運算表示出
          OA
          OB
          ,然后將所求的兩根之和與兩根之積代入即可得到:
          OA
          OB
          =0,進而的得證.
          (2)①先表示出過點A的切線和過點B的切線,然后兩直線聯立可求出點N的坐標,即可得到點N在定直線y=-4上.
          ②根據
          MA
          BM
          可知(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2),進而可聯立方程可求得k2的表達式,進而求得k2的范圍,最后根據直線MN在x軸的截距為k,進而可得答案.
          解答:解:設A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=kx+4與x2=4y聯立得x2-4kx-16=0,
          △=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0,
          x1+x2=4k,x1x2=-16,
          (1)證明:
          OA
          OB

          =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)
          =(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16
          =(1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0,
          OA
          OB

          (2)①證明:過點A的切線:
          y=
          1
          2
          x1(x-x1)+y1=
          1
          2
          x1x-
          1
          4
          x12,①
          過點B的切線:y=
          1
          2
          x2x-
          1
          4
          x22,②
          聯立①②結合(1)的結論得點N(
          x1+x2
          2
          ,-4),
          所以點N在定直線y=-4上.
          ②∵
          MA
          BM
          ,∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2),
          聯立可得
          x1=-λx2
          x1+x2=4k
          x1x2=-16

          k2=
          (1-λ)2
          λ
          =
          λ2-2λ+1
          λ
          =λ+
          1
          λ
          -2,4≤λ≤9,
          9
          4
          ≤k2
          64
          9

          直線MN:y=
          -8
          2k
          x+4在x軸的截距為k,
          ∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是
          [-
          8
          3
          ,-
          3
          2
          ]∪[
          3
          2
          ,
          8
          3
          ].
          點評:本題主要考查了拋物線的應用.涉及了拋物線的性質,向量的計算,不等式等知識.
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          ,拋物E與直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B兩點.
          (1)求拋物線E的方程;
          (2)當△OAB的面積等
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          時,求k的值.

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          (1)求拋物線E的方程;
          (2)當△OAB的面積等數學公式時,求k的值.

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