【題目】已知函數(shù),在區(qū)間
上有最大值
,最小值
,設(shè)函數(shù)
.
(1)求的值;
(2)不等式在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值,通過(guò)a與0的大小討論,列出方程,即可求a,b的值;
(2)轉(zhuǎn)化不等式f(2x)﹣k2x≥0,為k在一側(cè),另一側(cè)利用換元法通過(guò)二次函數(shù)在x∈[﹣1,1]上恒成立,求出最值,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)化簡(jiǎn)方程f(|2x﹣1|)+k(3)=0,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),利用方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,推出不等式然后求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(1)g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,
∵a>0,∴g(x)在[2,3]上為增函數(shù),
故,可得
,
.
∴a=1,b=0
(2)方程f(2x)﹣k2x≥0化為2x2≥k2x,
k≤1
令t,k≤t2﹣2t+1,
∵x∈[﹣1,1],∴t,記φ(t)=t2﹣2t+1,
∴φ(t)min=φ(1)=0,
∴k≤0.
(3)由f(|2x﹣1|)+k(3)=0
得|2x﹣1|(2+3k)=0,
|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0,
令|2x﹣1|=t,則方程化為t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),
∵方程|2x﹣1|(2+3k)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
∴由t=|2x﹣1|的圖象(如圖)知,
t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0有兩個(gè)根t1、t2,且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1,
記φ(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),
則或
∴k>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)
,順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為
,點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)已知點(diǎn),是橢圓
上的兩點(diǎn).
(。┤,且
為等邊三角形,求
的面積;
(ⅱ)若,證明:
不可能為等邊三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)
(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),,
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題
①函數(shù)與函數(shù)
表示同一個(gè)函數(shù);
②奇函數(shù)的圖像一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);
③若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,則函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
;
④設(shè)函數(shù)是在區(qū)間
上圖像連續(xù)的函數(shù),且
,則方程
在區(qū)間
上至少有一實(shí)根;
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中
,且
為常數(shù)).
(1)若對(duì)于任意的,都有
成立,求
的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程在
上有且只有一個(gè)實(shí)根,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)自改革開(kāi)放以來(lái),生活越來(lái)越好,肥胖問(wèn)題也目漸顯著,為分析肥胖程度對(duì)總膽固醇與空腹血糖的影響,在肥胖人群中隨機(jī)抽出8人,他們的肥胖指數(shù)值、總膽固醇
指標(biāo)值單位:
)、空腹血糖
指標(biāo)值(單位:
)如下表所示:
(1)用變量與
與
的相關(guān)系數(shù),分別說(shuō)明
指標(biāo)值與
值、
指標(biāo)值與
值的相關(guān)程度;
(2)求與
的線性回歸方程,已知
指標(biāo)值超過(guò)5.2為總膽固醇偏高,據(jù)此模型分析當(dāng)
值達(dá)到多大時(shí),需要注意監(jiān)控總膽固醇偏高情況的出現(xiàn)(上述數(shù)據(jù)均要精確到0.01)
參考公式:相關(guān)系數(shù)
,
,
.
參考數(shù)據(jù): ,
,
,
,
,
,
,
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥,對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的,用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多,但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用
單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)
.
(1)試規(guī)定的值,并解釋其實(shí)際意義;
(2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì);
(3)設(shè).現(xiàn)有
單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗兩次,試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較。空f(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
的參數(shù)方程為
,以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線與曲線
兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為
,直線
與
軸的交點(diǎn)為
,與曲線
相交于
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x﹣1)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在[2,9]上的最大值與最小值之差為3,求a的值;
(2)若a>1,求不等式f(2x)>0的解集.
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