Question

如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，直線l為橢圓的右準(zhǔn)線，N為l上一動點(diǎn)，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）設(shè)過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9）時，求這個圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)統(tǒng)一可知直線l的方程，設(shè)N（8，t）（t＞0），因為AM=MN，所以M（2，），由M在橢圓上，得t=6．可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出向量，然后利用向量的夾角公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，F(xiàn)，N三點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出圓的方程，令x=0，得，最后根據(jù)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9），求出t，從而求出圓的方程．
解答：解：（1）由已知，A（-4，0），B（4，0），F(xiàn)（2，0），直線l的方程為x=8．
設(shè)N（8，t）（t＞0），因為AM=MN，所以M（2，）．
由M在橢圓上，得t=6．故所求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2，3）．（4分）
所以，．．（7分）
（2）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，F(xiàn)，N三點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得
∵圓方程為，令x=0，得．（11分）
設(shè)P（0，y₁），Q（0，y₂），則．
由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9），得y₁+y₂=18，．
此時所求圓的方程為x²+y²+2x-18y-8=0．（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及利用向量法求夾角，同時考查了圓的方程，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．