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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1+ln(x+1)
          x
          (x>0),
          (1)函數(shù)f(x) 在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論;
          (2)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
          3
          x+1
          恒成立;
          (3)試證:(1+1•2)(1+2•3)…[1+n(n+1)]>e2n-3(n∈N*).
          分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),即可得到結(jié)論;
          (2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
          3
          x+1
          恒成立,即證明(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)的最小值即可;
          (3)由(2)知:
          1+ln(x+1)
          x
          3
          x+1
          (x>0),從而令x=n(n+1),得ln[1+n(n+1)]>2-
          3
          n(n+1)
          =2-3( 
          1
          n
          1
          n+1
          ),對(duì)原不等式兩邊取對(duì)數(shù),放縮求和即可證得結(jié)論
          解答:(1)解:由題意知x>0,則f′(x)=-
          [
          1
          x+1
          +ln(x+1)]
          x2
          <0,
          故f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù);
          (2)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
          3
          x+1
          恒成立,即證明(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,
          令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x(x>0),
          則g′(x)=ln(x+1)-1,
          當(dāng)x<e-1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>e-1時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
          所以x=e-1時(shí),g(x)取得最小值,且最小值g(e-1)=3-e>0,
          所以當(dāng)x>0時(shí),(x+1)ln(x+1)+1-2x>0在(0,+∞)上恒成立,
          故當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
          3
          x+1
          恒成立;
          (3)證明:由(2)知:
          1+ln(x+1)
          x
          3
          x+1
          (x>0),
          ∴l(xiāng)n(x+1)>
          3x
          x+1
          -1=2-
          3
          x+1
          >2-
          3
          x
          ,
          令x=n(n+1),則ln[1+n(n+1)]>2-
          3
          n(n+1)
          =2-3(
          1
          n
          1
          n+1
          ),
          又ln[(1+1•2)•(1+2•3)•(1+3•4)•…•(1+n(n+1))]=ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln(1+n×(n+1))>2n-3[(1-
          1
          2
          )+(
          1
          2
          -
          1
          3
          )+…+(
          1
          n
          -
          1
          n+1
          )]=2n-3(1-
          1
          n+1
          )=2n-3+
          3
          n+1
          >2n-3
          所以(1+1•2)•(1+2•3)•(1+3•4)•…•[1+n(n+1)]>e2n-3
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問(wèn)題,考查不等式的證明,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          |x|
          ,g(x)=1+
          x+|x|
          2
          ,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  )
          A、(-∞,-1)∪(0,1)
          B、(-∞,-1)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )
          C、(-1,0)∪(
          -1+
          5
          2
          ,+∞)
          D、(-1,0)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1,x∈Q
          0,x∉Q
          ,則f[f(π)]=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx(a>0)

          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
          1
          2
          ,2
          ]上的最大值和最小值;
          (3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +
          +
          1
          n
          恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
          π
          6
          ),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案