Question

已知正三棱錐P-ABC的體積為72

3

，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60°．
（1）證明：PA⊥BC；
（2）求底面中心O到側(cè)面的距離．

Answer 1

分析：（1）取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD、PD，由三棱錐P-ABC為正三棱錐可得：AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．所以PA⊥BC．
（2）在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見(jiàn)的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題求點(diǎn)到面的距離可采用找垂面的方法：找（作）出一個(gè)過(guò)該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過(guò)該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．由（1）可知平面PBC⊥平面APD，則∠PDA是側(cè)面與底面所成二面角的平面角．過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PD，E為垂足，則OE就是點(diǎn)O到側(cè)面的距離．

解答：（1）證明：取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD、PD，
則AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．∴PA⊥BC．
（2）解：如圖，由（1）可知平面PBC⊥平面APD，
則∠PDA是側(cè)面與底面所成二面角的平面角．
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PD，?E為垂足，則OE就是點(diǎn)O到側(cè)面的距離．
設(shè)OE為h，由題意可知點(diǎn)O在AD上，
∴∠PDO=60°，OP=2h．
∵?OD=

2h

3

，?∴?BC=4h，
∴S△ABC=

3

4

(4h)2=4

3

h2，
∵72

3

=

1

3

•4

3

h2•2h=

8 3

3

h3，∴h=3．
即底面中心O到側(cè)面的距離為3．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐，線面關(guān)系、點(diǎn)到面的距離等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．