Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1，x∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，1]的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間(0，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)即切線的斜率，利用直線方程的點斜式求出切線的方程．
（II）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為求出兩個根，兩個的大小引起討論；判斷導函數(shù)在根左右兩邊的符號，判斷出函數(shù)的單調性，利用極值的定義求出函數(shù)的極值．
（III）構造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導數(shù)，通過導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，將問題轉化為最大值大于0，求出a的范圍．

解答：解：∵f′（x）=a²x²-2ax
（I）當a=1時，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在點（1，f（1））的切線方程為y=-x+1
（II）令f′（x）=0得x1=0， x2=

2

a

（1）當0＜

2

a

＜1即a＞2時，
x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增
x∈(0，

2

a

)時，f′(x)＜0，f(x)遞減x∈(

2

a

，1)時，f′(x)＞0，f(x)遞增
所以當x=0時，有極大值

2

3

；當x=

2

a

有極小值

2a-4

3a

（2）當

2

a

≥1即0＜a≤2時，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，1）遞減
所以f（x）極大值為f（0）=

2

3

，無極小值
（III）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

，x∈(0，

1

2

]
F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）
∵x∈(0，

1

2

]，a＞0
∴F′（x）=a²x²+a（1-2x）＞0
∴F(x)在區(qū)間(0，

1

2

]上為增函數(shù)
則F(x)max=F(

1

2

)
依題意，只需F（x）_max＞0
即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0
解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

(舍去)
所以實數(shù)a的取值范圍是（-3+

17

，+∞)

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義|在切點處的導數(shù)值是切線的斜率、考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)的最值、考查不等式有解問題等價轉化為函數(shù)的最值問題．