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				已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.? 
          (1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
          (2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
          (3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          證明:(1)由g(x)=,對g(x)求導(dǎo)數(shù)知g′(x)= .          ?
          由xf′(x)＞f(x)可知:g′(x)＞0在x＞0時恒成立.??
          從而g(x)= 在x＞0時是單調(diào)遞增函數(shù).                                                           ?
          (2)由(1)知g(x)= 在x＞0時是增函數(shù).?
          在x1＞0,x2＞0時,＞,＞ .                                       ?
          于是f(x1)＜f(x1+x2),f(x2)＜f(x1+x2).??
          兩式相加得到f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).                                                                          ?
          (3)由(2)可知g(x)=在x＞0上單調(diào)遞增時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0,x2＞0)恒成立.
          由數(shù)學(xué)歸納法可知xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,?
          有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.?
          設(shè)f(x)=xlnx,則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,?
          有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)                      ①?
          恒成立.                                                                                                                   ?
          令xn=,記Sn=x1+x2+…+xn=++…+.?
          由Sn＜++…+=1-.?
          Sn＞++…+=-.?
          (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(1-)＜-(x1+x2+…+xn)
          （∵ln(1+x)＜x)＜-( -)=-.                                        ②
          則②代入①中,可知ln+ln+…+ln＜-.?
          于是ln22+ln32+…+ln(n+1)2＞.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
          (Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；
          (Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；
          (Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
          (Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；
          (Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
          (Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
          （Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；
          （Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
          （Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立．
          (1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；
          (2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案