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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l1:x=2,l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t為常數(shù));若直線l1、l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)1,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
          (Ⅰ)求a、b、c的值;
          (Ⅱ)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式;
          (Ⅲ)若g(x)=6lnx+m,問是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

          【答案】分析:(Ⅰ)由圖象可知函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16,分別代入即可解得a、b、c的值
          (Ⅱ)先求出直線l1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t為常數(shù))與拋物線f(x)=-x2+8x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)(用t表示),再利用定積分的幾何意義求兩部分面積之和即可
          (Ⅲ)先令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m,要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)H(x)=x2-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)H(x)的單調(diào)性和極值,數(shù)形結(jié)合得滿足題意的不等式組,解之可得m的值
          解答:解:(I)由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16
          ,
          ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-x2+8x
          (Ⅱ)由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t,
          ∵0≤t≤2,∴直線l1與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t2+8t)
          由定積分的幾何意義知:==
          (Ⅲ)令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m.
          因?yàn)閤>0,要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)H(x)=x2-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

          ∴x=1或x=3時(shí),H′(x)=0
          當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H′(x)>0,H(x)是增函數(shù);
          當(dāng)x∈(1,3)時(shí),H′(x)<0,H(x)是減函數(shù)
          當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),H′(x)>0,H(x)是增函數(shù)
          ∴H(x)極大值為H(1)=m-7;H(x)極小值為H(3)=m+6ln3-15
          又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),H(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),H(x)→+∞
          所以要使ϕ(x)=0有且僅有兩個(gè)不同的正根,必須且只須
          ,∴m=7或m=15-6ln3.
          ∴當(dāng)m=7或m=15-6ln3.時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)
          點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、定積分的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),解題時(shí)要綜合掌握各種知識(shí),熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決問題
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案