Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；

（2）若f(x)有兩個極值點證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成三種情況進行分類討論，判斷出的極值點個數(shù).

（2）由（1）知，結(jié)合韋達定理求得的關(guān)系式，由此化簡的表達式為，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此證得成立.

（1）函數(shù)的定義域為

得，

（i）當時；，

因為時，時，，

所以是函數(shù)的一個極小值點；

（ii）若時，

若，即時，，

在是減函數(shù)，無極值點.

若，即時，

有兩根，

不妨設(shè)

當和時，，

當時，，

是函數(shù)的兩個極值點，

綜上所述時，僅有一個極值點；

時，無極值點；時，有兩個極值點．

（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，

，則

所以

設(shè)，則，又，即，

所以

所以是上的單調(diào)減函數(shù)，

有兩個極值點，則