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        1. 如圖,AB是圓柱體OO′的一條母線,BC過底面圓的圓心O,D是圓O上不與點B、C重合的任意一點,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
          (1)將四面體ABCD繞母線AB轉動一周,求△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積;
          (2)二面角A-DC-B
          (3)求AD與平面ABC所成的角.
          分析:(1)由題意可知,所求體積是兩個圓錐體的體積之差,只須分別求出這兩個錐體的體積后求它們的差即得
          (2)因為點D在以BC為直徑的圓上,所以BD⊥DC,又可知CD⊥AD,所以∠ADB為二面角A-DC-B的平面角,在RT△ADB中,可求二面角A-DC-B的大小;
          (3)過E作DE⊥BC,連接AE,因為AB⊥平面BDC,所以AB⊥DE.所以DE⊥平面ABC,所以∠DAE就是直線AD與平面ABC所成的角,故可求直線AD與平面ABC所成的角.
          解答:解:(1)由題意可知,所求體積是兩個圓錐體的體積之差,
          V=V圓錐ABC-V圓錐ABD=
          1
          3
          π?52?5-
          1
          3
          π?42?5=
          125π
          3
          -
          80π
          3
          =15π

          故所求體積為15π
          (2)因為點D在以BC為直徑的圓上,所以BD⊥DC
          因為AB⊥平面BDC,DC?平面BDC,所以AB⊥DC,
          從而有CD⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以CD⊥AD
          所以∠ADB為二面角A-DC-B的平面角,在RT△ADB中,BD=4,
          tan∠ADB=
          AB
          BD
          =
          5
          4
          ,所以∠ADB=arctan
          5
          4

          即二面角A-DC-B的大小為arctan
          5
          4

          (3)過E作DE⊥BC,連接AE,因為AB⊥平面BDC,所以AB⊥DE.
          所以DE⊥平面ABC
          所以∠DAE就是直線AD與平面ABC所成的角;
          在RT△DBC中,DE=
          12
          5

          在RT△DBA中,AD=
          41

          在RT△ADE中,sin∠DAE=
          12
          41
          205

          所以,∠DAE=arcsin
          12
          41
          205

          所以直線AD與平面ABC所成的角為arcsin
          12
          41
          205
          點評:本題以旋轉體為載體,考查幾何體的條件,考查面面角,考查線面角,關鍵是角的尋找.
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