Question

給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=3sin

x

2

+4cos

x

2

的定義域?yàn)閇0，2π]，則值域?yàn)閇-5，5]；
（2）三角方程tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]內(nèi)有5個(gè)解；
（3）對(duì)任意的α∈R，三角公式sin2α=

2tanα

1+tan2α

是一定成立的；
（4）函數(shù)y=cosx與y=arccosx（|x|≤1）互為反函數(shù)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式求函數(shù)的周期即可．（2）利用正切函數(shù)的周期判斷．（3）利用正切函數(shù)的定義域判斷．（4）關(guān)鍵反函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）由數(shù)y=3sin

x

2

+4cos

x

2

得y=5sin（

x

2

+θ），θ為參數(shù)，則函數(shù)的周期T=

2π

1 2

=4π，
因?yàn)槎�義域?yàn)閇0，2π]，為半個(gè)周期，所以最大值5和最小值-5在[0，2π]內(nèi)不能同時(shí)取得，所以（1）錯(cuò)誤．
（2）因?yàn)檎�切函�?shù)的周期為T(mén)=

π

5

，所以[0，π]為5個(gè)周期長(zhǎng)度．所以又因?yàn)檎�切函�?shù)在每個(gè)周期內(nèi)都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]內(nèi)有5個(gè)解，所以（2）正確．
（3）因?yàn)檎�切函�?shù)的定義域?yàn)閧α|α≠kπ+

π

2

}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）錯(cuò)誤．
（4）因?yàn)閥=cosx在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以在定義域內(nèi)，函數(shù)y=cosx內(nèi)沒(méi)有反函數(shù)，所以（4）錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)．