Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為e=

3

3

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若

|OP|

|OM|

=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（I）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設(shè)出P的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程得到P的坐標(biāo)的關(guān)系，寫出A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出
k₁，k₂，將P的坐標(biāo)的關(guān)系代入k₁k₂化簡(jiǎn)求出其值．
（III）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式將已知的幾何條件用坐標(biāo)表示，通過(guò)對(duì)參數(shù)λ的討論，判斷出M的軌跡．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d=

2

2

=b，
即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，
即a=

3

c，
a²=b²+c²，
解得a=

3

，c=1，
所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
A(-

3

，0)，B(

3

，0)，
則

x 2 0

3

+

y 2 0

2

=1，即

y

2 0

=2-

2

3

x

2 0

，
則k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
即k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -3

=

2- 2 3 x 2 0

x 2 0 -3

=

2 3 (3- x 2 0 )

x 2 0 -3

=-

2

3

，
∴k₁•k₂為定值-

2

3

．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=

x2+6

3(x2+y2)

=λ2，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-

3

，

3

]．
①當(dāng)λ=

3

3

時(shí)，化簡(jiǎn)得y²=6，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±

6

(-

3

≤x≤

3

)，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)λ≠

3

3

時(shí)，方程變形為

x2

6 3λ2-1

+

y2

6 3λ2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]，
當(dāng)0＜λ＜

3

3

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-

3

≤x≤

3

的部分；
當(dāng)

3

3

＜λ＜1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-

3

≤x≤

3

的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時(shí)，一定要討論直線的斜率是否存在．