Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計(jì)算M¹⁰⁰β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長(zhǎng)．
（3）已知a＞0，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）根據(jù)逆矩陣公式可求M^-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值滿足：，λ₁=3，λ₂=-1，進(jìn)而可求對(duì)應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）先將β用特征向量進(jìn)行表示，即β=4α₁+-3α₂，再求M¹⁰⁰β；
（2）設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，點(diǎn)A在曲線C上，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、|AP|為半徑的圓，故可求其周長(zhǎng)．
（3）利用分析法證明．原不等式等價(jià)于：，兩邊平方
，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明≥2即可．
解答：（1）解：（Ⅰ）∵
∴1×1-2×2=-3
∴M^-1=．
（Ⅱ）M的特征值滿足：
∴λ₁=3，λ₂=-1
λ₁=3時(shí)，由方程組，對(duì)應(yīng)的特征向量為：
λ₂=-1時(shí)，由方程組，對(duì)應(yīng)的特征向量為，
（Ⅲ）令β=mα₁+nα₂，將具體數(shù)據(jù)代入得：m=4，n=-3，

（2）解：設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，
由余弦定理，得|AP|²=|OP|²+|OA|²-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）²+2²，
當(dāng)時(shí)，|AP|有最大值為，
將點(diǎn)A（2，0）代入曲線C的極坐標(biāo)方程，是滿足的，知點(diǎn)A在曲線C上，
所以曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、
為半徑的圓，其周長(zhǎng)為．
（3）證明：原不等式等價(jià)于：
等價(jià)于：
即：
上式等價(jià)于：
即：≥2
由基本不等式：，上式顯然成立，
∴原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題是選做題，涉及矩陣，極坐標(biāo)方程，不等式的證明，綜合性強(qiáng)，掌握的知識(shí)點(diǎn)多，屬于中檔題．