Question

已知中心在坐標原點、焦點在x軸上橢圓的離心率e=

3

3

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)橢圓的左，右焦點分別是F₁和F₂，直線l₁過F₂且與x軸垂直，動直線l₂與y軸垂直，l₂交l₁于點P，求線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓的離心率e=

3

3

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（2）利用線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點為M，可得|MF₁|=|MP|，由此可得M的軌跡方程及曲線類型．

解答：解：（1）依題意設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓的離心率e=

3

3

，
∴

a2-b2

a

=

3

3

，∴2a²=3b²①
又以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
即原點到直線y=x+2的距離為b，所以b=

2

，代入①中得a=

3

所以，所求橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（6分）
（2）由a=

3

，b=

2

得F₁、F₂點的坐標分別為（-1，0），（1，0），
設(shè)M點的坐標為（x，y），由題意：P點坐標為（1，y），
因為線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點為M，
所以|MF₁|=|MP|，∴

(x+1)2+y2

=|x-1|，∴y²=-4x
故線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程是y²=-4x，
該軌跡是以F₁為焦點的拋物線．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．