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        1. 對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)和g(x),如果對(duì)于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可被函數(shù)g(x)替代.
          (1)若f(x)=
          x
          2
          -
          1
          x
          ,g(x)=lnx
          ,試判斷在區(qū)間[[1,e]]上f(x)能否被g(x)替代?
          (2)記f(x)=x,g(x)=lnx,證明f(x)在(
          1
          m
          ,m)(m>1)
          上不能被g(x)替代;
          (3)設(shè)f(x)=alnx-ax,g(x)=-
          1
          2
          x2+x
          ,若f(x)在區(qū)間[1,e]上能被g(x)替代,求實(shí)數(shù)a的范圍.
          分析:(1)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=
          x
          2
          -
          1
          x
          -lnx
          ,通過研究h(x)的導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性,從而得出其在區(qū)間[[1,e]上的值域,可以證出f(x)能被g(x)替代;
          (2)構(gòu)造函數(shù)k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得在區(qū)間(
          1
          m
          ,1)
          上函數(shù)k(x)為減函數(shù),在區(qū)間(1,m)上為增函數(shù),因此函數(shù)k(x)在區(qū)間的最小值為k(1)=1,最大值是k(m)大于1,所以不滿足對(duì)于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,故f(x)在(
          1
          m
          ,m)(m>1)
          上不能被g(x)替代;
          (3)根據(jù)題意得出不等式|alnx-ax+
          1
          2
          x2-x|≤1
          ,去掉絕對(duì)值,再根據(jù)x-lnx的正負(fù)轉(zhuǎn)化為a≤
          1
          2
          x2-x+1
          x-lnx
          a≥
          1
          2
          x2-x+1
          x-lnx
          ,通過討論右邊函數(shù)的最值,得出實(shí)數(shù)a的范圍
          解答:解:(1)∵f(x)-g(x)=
          x
          2
          -
          1
          x
          -lnx
          ,
          h(x)=
          x
          2
          -
          1
          x
          -lnx

          h′(x)=
          1
          2
          +
          1
          x2
          -
          1
          x
          =
          x2+2-2x
          2x2
          >0
          ,
          ∴h(x)在[1,e]上單調(diào)增,
          h(x)∈[-
          1
          2
          ,
          e
          2
          -
          1
          e
          -1]

          ∴|f(x)-g(x)|≤1,即在區(qū)間[[1,e]]上f(x)能被g(x)替代.
          (2)記k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得k/(x)=
          x-1
          x

          當(dāng)
          1
          m
          <x<1
          時(shí),k′(x)<0,在區(qū)間(
          1
          m
          ,1)
          上函數(shù)k(x)為減函數(shù),
          當(dāng)1<x<m時(shí),k′(x)>0,在區(qū)間(1,m)上函數(shù)k(x)為增函數(shù)
          ∴函數(shù)k(x)在區(qū)間的最小值為k(1)=1,最大值是k(m)>1,
          所以不滿足對(duì)于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,
          故f(x)在(
          1
          m
          ,m)(m>1)
          上不能被g(x)替代;
          (3)∵f(x)在區(qū)間[1,e]上能被g(x)替代,
          即|f(x)-g(x)|≤1對(duì)于x∈[1,e]恒成立.
          |alnx-ax+
          1
          2
          x2-x|≤1
          -1≤alnx-ax+
          1
          2
          x2-x≤1
          ,
          由(2)知,當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x-lnx>0恒成立,
          ∴有a≤
          1
          2
          x2-x+1
          x-lnx
          ,
          F(x)=
          1
          2
          x2-x+1
          x-lnx
          ,
          F′(x)=
          (x-1)(x-lnx)-(1-
          1
          x
          )(
          1
          2
          x2-x+1)
          (x-lnx)2
          =
          (x-1)(
          1
          2
          x+1-lnx-
          1
          x
          )
          (x-lnx)2

          由(1)的結(jié)果可知
          1
          2
          x+1-lnx-
          1
          x
          >0
          ,
          ∴F'(x)恒大于零,
          a≤
          1
          2

          a≥
          1
          2
          x2-x-1
          x-lnx
          ,
          G(x)=
          1
          2
          x2-x-1
          x-lnx
          ,
          G′(x)=
          (x-1)(x-lnx)-(1-
          1
          x
          )(
          1
          2
          x2-x-1)
          (x-lnx)2
          =
          (x-1)(
          1
          2
          x+1-lnx+
          1
          x
          )
          (x-lnx)2
          ,
          1
          2
          x+1-lnx+
          1
          x
          1
          2
          x+1-lnx-
          1
          x
          >0
          ,
          ∴G'(x)恒大于零,
          a≥
          e2-2e-2
          2(e-1)
          ,
          即實(shí)數(shù)a的范圍為
          e2-2e-2
          2(e-1)
          ≤a≤
          1
          2
          點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,通過分類討論解決了不等式恒成立的問題,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆D和常數(shù)c,使得對(duì)任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對(duì)任意x2∈D,當(dāng)x2∉[a,b]時(shí),f(x2)>c恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).
          (Ⅰ)判斷函數(shù)f1(x)=|x-1|+|x-2|和f2(x)=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數(shù)?并說明理由;
          (Ⅱ)設(shè)f(x)是(Ⅰ)中的“平底型”函數(shù),k為非零常數(shù),若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x)對(duì)一切t∈R恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
          (Ⅲ)若函數(shù)g(x)=mx+
          x2+2x+n
          是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù),求m和n的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•成都二模)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若滿足對(duì)?x1,x2∈D,且x1<x2時(shí)都有 f(x1)≥f(x2),則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”.若f(x)為區(qū)間[0,1]上的“非增函數(shù)”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又當(dāng)x∈[0,
          1
          4
          ]
          時(shí),f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命題:
          ①?x∈[0,1],f(x)≥0;
          ②當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,時(shí),f(x1)≠f(x)
          ?x∈[
          1
          4
          3
          4
          ]
          時(shí),都有f(x)=
          1
          2

          ④函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
          1
          2
          ,
          1
          2
          )
          對(duì)稱
          其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為
          ①③④
          ①③④

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鹽城一模)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若任給x0∈D,均有f(x0)∈D,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上封閉.
          (1)試判斷f(x)=x-1在區(qū)間[-2.1]上是否封閉,并說明理由;
          (1)若函數(shù)g(x)=
          3x+ax+1
          在區(qū)間[3,10]上封閉,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (1)若函數(shù)h(x)=x3-3x在區(qū)間[a,b[(a,b∈Z)上封閉,求a,b的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•綿陽三模)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(X),若存在閉區(qū)間[a,b]?D和常數(shù)c,.使得對(duì)任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對(duì)任意x2∈D,當(dāng)x2∉[a,b]時(shí),f(x2)<c恒成立,則稱函數(shù)f(X)為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù).給出下列說法:
          ①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值;
          ②“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)一定沒有最小值;
          ③函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數(shù);
          ④函數(shù)f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù).
          則以上說法中正確的是
          ①③
          ①③
          .(填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•綿陽三模)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(X),若存在閉區(qū)間[a,b]?D和常數(shù)c,使得對(duì)任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對(duì)任意x2∈D,當(dāng)x2∉[a,b]時(shí),f(x2)<c恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù).給出下列說法:
          ①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值;
          ②函數(shù)f(x)=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數(shù);
          ③函數(shù)f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù);
          ④當(dāng)t≤
          3
          4
          時(shí),函數(shù),f(x)=
          2,(x≤1)
          log
          1
          2
          (x-t),(x>1)
          是區(qū)間[0,+∞)上的“平頂型”函數(shù).
          其中正確的是
          ①②④
          ①②④
          .(填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))

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