Question

圓C過點(diǎn)（0，-1），圓心在y軸的正半軸上，且與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)（0，2）交圓C于A、B兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線l的傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）圓C的圓心在y軸的正半軸上，故可設(shè)方程為x²+（y-b）²=r²，b＞0，r＞0
由條件知 （-1-b）²=r²（1）
∵圓與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切，∴兩個圓心間的距離等于兩個半徑之和，
∴（0-4）²+（b-4）²=（r+3）²（2）
由（1）（2）解得b=1，r=2
從而圓C的方程為x²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0
∵C與l的距離d=，∴以AB為直徑的圓半徑R==
∵原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，原點(diǎn)與l的距離d'=
∴d'＜R，即＜
∴k＜-或k＞．
斜率不存在時也成立
∴直線l的傾斜角α的取值范圍為（arctan，π-arctan）．
分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的方程，利用圓C過點(diǎn)（0，-1），圓與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切，建立方程，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，求出以AB為直徑的圓半徑R，原點(diǎn)與l的距離d'，利用原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，可得d'＜R，從而可求直線l的傾斜角α的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．